Biểu diễn đường cong đa thức dưới dạng tích các chuỗi hình thức

Đợt này mình đi học một khóa về Đường cong đại số tại Huế do thầy Ngô Bảo Châu dạy. Tài liệu chính sử dụng là cuốn sách W.Fulton, Algebraic Curve. Trong cuốn sách, phần 1 chương 3, về tiếp tuyến của đường cong. Tác giả có đưa ra phân tích: Với mọi đa thức $F \in \mathbb{C}[x,y]$, ta có phân tích thành tổng các thành phần thuần nhất:
\[ F = F_m + F_{m+1} + \cdots + F_{n}. \]
Trong đó $F_i$ là thành phần thuần nhất thứ $i$ và $F_m$ là thành phần bé nhất khác 0. Để ý trong $\mathbb{C}$, $F_m$ có thể viết dưới dạng
$$F_m = (x -\alpha_1 y) (x - \alpha_2 y) \cdots (x - \alpha_m) =  L_1 L_2 ... L_m$$
là các đường thẳng (tất nhiên có những trường hợp $L_i =y$ chẳng hạn, khi đó ta đổi chỉ số để được dạng như trên), và tác giả nói rằng các đường thẳng này là các tiếp tuyến của đường cong.

Đọc đến đây mình thấy hơi mông lung. Vì thế nào là một tiếp tuyến của một đường cong? Tất nhiên là trên hình vẽ thì rõ rồi, và với một đường cong trơn không tự cắt $f$ tại $P(a,b)$ ($(f_x(P), f_y(P)) \neq  (0,0)$) thì tiếp tuyến của đường cong là đường thẳng $(x-a)f_x(P) + (y-b) f_y(P)$, tức phần thuần nhất bậc 1 trong $F$. Nhưng giờ giả sử $m > 2$, tức $F$ tự cắt tại $0$ thì rõ ràng định nghĩa trên là quá "hình thức" một cách đại số. Sau đó thầy giáo cho chúng mình một bài tập để có cái nhìn rõ hơn về chuyện này:

Bài tập: Cho $F$ là một đa thức với phân tích ra các thành phần thuần nhất như trên. Khi đó tồn tại các chuỗi hình thức $Q^{1}, Q^{2}, \dots, Q^{n}\in \mathbb{C}[[x,y]]$ (ở đây các số bên trên là chỉ số) để
\[ F = Q^1 Q^2 \cdots Q_n, \]
với $Q^i = x-\alpha_i y + Q^i_2 + Q^i_3 + \cdots $.

Đến đây thì mọi chuyện tốt hơn rồi. Vì có các thành phần bắt đầu từ bậc nhất nên tại lân cận của $(0,0)$ thì chuỗi tất nhiên chỉnh hình, và các $L_i = x - \alpha_i y$ chính là tiếp tuyến của $Q^i$ tại $(0,0)$.

Để chứng minh việc này, ta cần một định lí

Định lí (Weierstrass preparation theorem).  Với $F \in \mathbb{C}[[x, y]]$, viết $F = a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + \cdots$, với các $a_i \in \mathbb{C}[[x]]$ thỏa mãn
$$a_0(0) = a_1(0) = \cdots = a_{m-1}(0) = 0, a_m(0) \neq 0,$$
thì tồn tại $U \in \mathbb{C}[[x,y]]^{\times}$ khả nghịch và
\[ Q = b_0 + b_1y + \cdots + b_{m-1} y^{m-1} + y^m \]
để $F = QU$.