Trong bài "Sự kéo theo của các loại hội tụ trong xác suất" ta đã chứng minh được 3 chiều suy ra (màu đen)
Trong bài này, ta sẽ chỉ ra phản ví dụ của 3 chiều đỏ để chứng minh rằng các chiều kéo theo ngược lại là không đúng.
(1) Hội tụ theo phân bố không kéo theo hội tụ theo xác suất:
Xét $X$ là biến ngẫu nhiên tung đồng xu, nhận giá trị $0$ và $1$ với xác suất mỗi số là $1/2$. $Y$ là một phép tung đồng xu khác, độc lập với $X$. Xét dãy $(X_n)_n$ với
$$X_n = \begin{cases} X & \text{n odd} \\ Y & \text{n even} \end{cases}.$$
Dãy này hiển nhiên hội tụ theo phân bố vì cả dãy có phân bố giống nhau.
Nhưng ta có với mọi $m$ và $\epsilon >0$,
$$P(|X_{2m} - X_{2m+1}| > \epsilon) = P(X=0, Y = 1) + P(X= 1, Y=0) = 1/2.$$
Cho $m\to \infty$ suy ra dãy này không Cauchy theo xác suất, vậy nó không hội tụ theo xác suất.
(2) Hội tụ theo xác suất không kéo theo hội tụ hầu chắc chắn:
Xét không gian xác suất $([0, 1], \mathcal{B}, \lambda)$ (không gian [0,1] trang bị độ đo Lebesgue), với dãy biến ngẫu nhiên là các hàm chỉ thị như sau
$$I(0,1) $$
$$I(0,\dfrac{1}{2}), I(\dfrac{1}{2},1)$$
$$I(0,\dfrac{1}{3}), I(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}), I(\dfrac{2}{3},1)$$
$$I(0,\dfrac{1}{4}), I(\dfrac{1}{4},\dfrac{2}{4}),I(\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{4}), I(\dfrac{3}{4},1)$$
$$...$$
Dãy các biến ngẫu nhiên này hội tụ theo xác suất đến 0. (vì xác suất nó khác 0 hội tụ về 0). Nhưng dãy này không hội tụ hầu chắc chắn vì với mọi $\omega \in [0,1]$, luôn tồn tại dãy con $X_{n_k}(\omega) = 1$ và một dãy con khác $X_{m_k}(\omega) = 0$, suy ra $X_n(\omega)$ không hội tụ với mọi $\omega$.
(3) Hội tụ theo xác suất không kéo theo hội tụ theo chuẩn $L^p$ với mọi $p\geq 1$:
Xét không gian xác suất $([0, 1], \mathcal{B}, \lambda)$ như trên, dãy biến ngẫu nhiên
$$X_n = \begin{cases} n^2 (1-n\omega) & \text{if } \omega \leq 1/n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}.$$
Ta thấy dãy này hội tụ hầu chắc chắn đến 0, nhưng chuẩn $L^p$ với mọi $p\geq 1$ của nó đều tiến ra $\infty$, vậy nên không hội tụ theo $L^p$.
Trong bài này, ta sẽ chỉ ra phản ví dụ của 3 chiều đỏ để chứng minh rằng các chiều kéo theo ngược lại là không đúng.
(1) Hội tụ theo phân bố không kéo theo hội tụ theo xác suất:
Xét $X$ là biến ngẫu nhiên tung đồng xu, nhận giá trị $0$ và $1$ với xác suất mỗi số là $1/2$. $Y$ là một phép tung đồng xu khác, độc lập với $X$. Xét dãy $(X_n)_n$ với
$$X_n = \begin{cases} X & \text{n odd} \\ Y & \text{n even} \end{cases}.$$
Dãy này hiển nhiên hội tụ theo phân bố vì cả dãy có phân bố giống nhau.
Nhưng ta có với mọi $m$ và $\epsilon >0$,
$$P(|X_{2m} - X_{2m+1}| > \epsilon) = P(X=0, Y = 1) + P(X= 1, Y=0) = 1/2.$$
Cho $m\to \infty$ suy ra dãy này không Cauchy theo xác suất, vậy nó không hội tụ theo xác suất.
(2) Hội tụ theo xác suất không kéo theo hội tụ hầu chắc chắn:
Xét không gian xác suất $([0, 1], \mathcal{B}, \lambda)$ (không gian [0,1] trang bị độ đo Lebesgue), với dãy biến ngẫu nhiên là các hàm chỉ thị như sau
$$I(0,1) $$
$$I(0,\dfrac{1}{2}), I(\dfrac{1}{2},1)$$
$$I(0,\dfrac{1}{3}), I(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}), I(\dfrac{2}{3},1)$$
$$I(0,\dfrac{1}{4}), I(\dfrac{1}{4},\dfrac{2}{4}),I(\dfrac{2}{4},\dfrac{3}{4}), I(\dfrac{3}{4},1)$$
$$...$$
Dãy các biến ngẫu nhiên này hội tụ theo xác suất đến 0. (vì xác suất nó khác 0 hội tụ về 0). Nhưng dãy này không hội tụ hầu chắc chắn vì với mọi $\omega \in [0,1]$, luôn tồn tại dãy con $X_{n_k}(\omega) = 1$ và một dãy con khác $X_{m_k}(\omega) = 0$, suy ra $X_n(\omega)$ không hội tụ với mọi $\omega$.
(3) Hội tụ theo xác suất không kéo theo hội tụ theo chuẩn $L^p$ với mọi $p\geq 1$:
Xét không gian xác suất $([0, 1], \mathcal{B}, \lambda)$ như trên, dãy biến ngẫu nhiên
$$X_n = \begin{cases} n^2 (1-n\omega) & \text{if } \omega \leq 1/n \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}.$$
Ta thấy dãy này hội tụ hầu chắc chắn đến 0, nhưng chuẩn $L^p$ với mọi $p\geq 1$ của nó đều tiến ra $\infty$, vậy nên không hội tụ theo $L^p$.
Có thể có e xin thêm một vài ví dụ và phản ví dụ về sự kéo theo của các loại hội tụ được không ạ, e đang làm tiểu luận phần này ạ. Ví dụ như chỉ ra phản VD để chứng minh định lý ánh xạ liên tục không còn đúng đối với sự hội tụ theo trung bình, sự hội tụ theo phân phối... E cảm ơn ạ!
Trả lờiXóa