$Tr(A) = 0$ thì $A$ có thể viết thành giao hoán tử của hai ma trận

Hôm nay mình đọc được một chứng minh ngắn gọn cho bài tập quen thuộc sau:

"Chứng minh nếu $A$ là một ma trận vuông cỡ $n$ trong trường $K$ có $Tr(A) = 0$ thì $A$ có thể viết thành giao hoán tử của một cặp ma trận nào đó: $A = [B, C] = BC - CB$."

nên note lại. Chứng minh gồm hai bước như sau:

1. Chứng minh $A$ đồng dạng với một ma trận có đường chéo chỉ toàn 0. Bước này dùng quy nạp theo $n$: Giả sử đúng đến $n-1$ rồi, với $n$, ta nhận xét rằng nếu $A$ không phải một phép tịnh tiên thì tồn tại $e \in K^n$ để $Ae$ và $e$ độc lập tuyến tính. Xét ma trận của phép biến đổi tuyến tính $A$ trong cơ sở với hai vector đầu là $e, Ae$ sẽ có ma trận mà cột đầu tiên là $(0, 1, 0, \dots, 0)^t$. Sau đó sử dụng giả thiết quy nạp.

2. Vì nếu $A=[B,C]$ thì $P^{-1}AP = [P^{-1}BP, P^{-1}CP]$ và từ 1. nên ta chỉ cần chứng minh bài toán trong trường hợp đường chéo của $A$ toàn 0. Xét $B = \text{diag}(b_1,b_2,\dots, b_n)$, $C=(c_{ij})$ thì $$[B,C] = ((b_i - b_j)c_{ij}).$$

Từ đó ta chỉ cần chọn các $b_i$ đôi một phân biệt và $c_{ij} = (b_i - b_j)^{-1} a_{ij}$ là xong.