- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
Có một bổ đề đơn giản và hữu dụng trong xác suất cho chúng ta biết sự liên hệ giữa moment và xác suất đuôi. Phát biểu của nó như sau: Cho $X$ là một biến ngẫu nhiên không âm bất kì và $p\in \mathbb{R}$. Khi đó,
$$EX^p = p\int_0^{\infty} t^{p-1} P(X > t) dt.$$
Mình muốn ghi lại chứng minh của nó trong bài viết này: Từ định nghĩa
$$EX^p = \int_{0}^{\infty} dF(x) x^p$$
Viết lại và sử dụng Fubini
$$\int_{0}^{\infty} dF(x) x^p = p\int_{0}^{\infty} dF(x) \int_0^x dt\, t^{p-1}$$
$$ = p \int_{0}^{\infty} dt \int_{t}^{\infty} dF(x) t^{p-1}$$
$$ = p \int_{0}^{\infty} dt \, P(X > t) t^{p-1}.$$
$$EX^p = p\int_0^{\infty} t^{p-1} P(X > t) dt.$$
Mình muốn ghi lại chứng minh của nó trong bài viết này: Từ định nghĩa
$$EX^p = \int_{0}^{\infty} dF(x) x^p$$
Viết lại và sử dụng Fubini
$$\int_{0}^{\infty} dF(x) x^p = p\int_{0}^{\infty} dF(x) \int_0^x dt\, t^{p-1}$$
$$ = p \int_{0}^{\infty} dt \int_{t}^{\infty} dF(x) t^{p-1}$$
$$ = p \int_{0}^{\infty} dt \, P(X > t) t^{p-1}.$$
Nhận xét
Đăng nhận xét