2 cách xây dựng kì vọng có điều kiện

Kì vọng có điều kiện là một khái niệm quan trọng, là một trong những điểm nhấn để lí thuyết xác suất vượt ra ngoài khỏi lí thuyết độ đo và tích phân. Không có kì vọng điều kiện thì thậm chí ta không thể định nghĩa những quá trình quan trọng trong xác suất như quá trình Markov hay Martingale. Trong bài viết này mình sẽ trình bày lại 2 hướng tiếp cận việc xây dựng kì vọng có điều kiện cho biến ngẫu nhiên phổ biến là

1. Sử dụng định lí Randon-Nykodym
2. Sử dụng phép chiếu trong không gian Hilbert $L^2$.

và kết thúc bài viết với một số tính chất quan trọng và chứng minh vắn tắt cho chúng.

Ta bắt đầu với định nghĩa của kì vọng có điều kiện, sau đó chứng minh sự tồn tại (và duy nhất) của nó lần lượt theo hai hướng trên; để cho tiện, với mỗi tập hợp đo được $A$, kí hiệu $\int_A X dP = E[X;A]$.

Định nghĩa (Kì vọng có điều kiện). Cho $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ là một không gian xác suất. $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ là một $\sigma-$đại số con, $X\in L^1(\Omega)$. Kì vọng có điều kiện của $X$ với $\mathcal{G}$ là biến ngẫu nhiên $M$ thoả mãn
(a) $M$ là $\mathcal{G}-$đo được;
(b) Với mọi $A\in \mathcal{G}$ ta có $E[M;A] = E[X;A]$.
Khi đó $M$ được kí hiệu là $E[X|\mathcal{G}]$ hoặc $E^{\mathcal{G}} X$.

1. Chứng minh tồn tại duy nhất bằng định lí Radon-Nykodym.
Xét hàm tập $Q(A) = E[X;A]$ với mọi $A\in \mathcal{G}$. Rõ ràng $Q$ liên tục tuyệt đối so với $P$ vì nếu $P(A) = 0$ thì $Q(A) = E[X;A] = 0$. Hơn nữa độ đo $P$ là hữu hạn, theo định lí Randon-Nykodym, tồn tại duy nhất $M \in L^1(\Omega,\mathcal{G})$ để $Q(A) = \int_A M dP = E[M;A]\,\,\, \forall \, A \in \mathcal{G}$. $\square$

2. Chứng minh tồn tại duy nhất bằng phép chiếu trong không gian Hilbert. Xét không gian Hilbert $L^2(\mathcal{F})$ có không gian con là $L^2(\mathcal{G})$. Ta có phép chiếu $E^{\mathcal{G}} \colon L^2(\mathcal{F}) \to L^2(\mathcal{G})$ và từ đó có định nghĩa $E^{\mathcal{G}}X$ cho mọi $X\in L^2(\mathcal{F})$. Với mọi $A\in \mathcal{G}$, $I(A) \in L^2(\mathcal{G})$ (hàm chỉ tiêu), nên $(X-E^\mathcal{F} X) \perp I(A)$, suy ra $E[E^\mathcal{F} X;A] = E[X;A]$ (thoả mãn (b)). Với $B= \{\omega : E^{\mathcal{F}} X(\omega) \geq 0\}$ thì
$$ E|E^{\mathcal{F}} X| = E[E^{\mathcal{F}}X;A]-E[E^{\mathcal{F}}X;A^c] = E[X;A]-E[X;A^c] \leq E|X|$$
nên phép chiếu $E^\mathcal{G}$ là liên tục đều theo chuẩn $L^1$ trong $L^2(\mathcal{G})$. Hơn nữa ta đã biết $L^2$ là trù mật trong $L^1$ và $L^1$ đủ, vậy $E^{\mathcal{F}}$ được thác triển một cách duy nhất, tuyến tính, liên tục, lên $L^1(\mathcal{G})$. $\square$

Một số tính chất của kì vọng có điều kiện.
(1) $E^\mathcal{G}$ là tuyến tính liên tục.
(2) Nếu $c$ là hằng số thì $E^{\mathcal{F}} c = c$.
(3) $E[X|\{\varnothing, \Omega\}] = EX$
(4) $E[X|\mathcal{F}] = X$
(5) Nếu $X$ và $\mathcal{G}$ độc lập thì $E[X|\mathcal{G}] = X$.
(6) $E|E^{\mathcal{G}} X| \leq E|X|$
(7) $0\leq X_n \to X$ ($X_n$ đơn điệu tăng) thì $E^{\mathcal{G}} X_n \to E^{\mathcal{G}} X$ (tăng)
(8) Nếu $Y$ là $\mathcal{G}$ đo được thì $E^{\mathcal{G}} XY = Y E^{\mathcal{G}} X$
(9) $E[E[X|\mathcal{H}]|\mathcal{G}]= E[X|\mathcal{G}]$ với mọi $\mathcal{G} \subset \mathcal{H}$.

(1) và (6) đã được chứng minh ở trên
(2), (3), (4), (5) ta có thể dễ dàng suy ra từ cách định nghĩa thứ nhất.
(7) $\Rightarrow$ $E|X_n-X| \to 0$ (định lí hội tụ đơn điệu), áp dụng (6) ta cũng có $E^{\mathcal{G}} X_n \to E^{\mathcal{G}} X$ theo nghĩa $L^1$, một kết quả quen thuộc cho ta biết hội tụ theo $L^1$ kéo theo hội tụ theo xác suất và hội tụ theo xác suất (+đơn điệu) suy ra hội tụ hầu chắc chắn
Để chứng minh (8), ta bắt đầu với $Y$ là hàm đơn giản, sau đó thác triển lên hàm dương và cuối cùng là hàm $\mathcal{G}-$đo được
(9) đúng với $X\in L^2(\mathcal{G})$ vì $L^2(\mathcal{G})\in L^2(\mathcal{H})$. Sau đó sử dụng (7) ta thác triển được kết quả đúng $\forall \, X\in L^1$. Đặc biệt, khi cho $\mathcal{H} = \mathcal{G}$, ta thấy $E^{\mathcal{G}}$ là luỹ đẳng.