Phản ví dụ của một số sự kéo theo hội tụ trong xác suất

Sự kéo theo của các loại hội tụ trong xác suất

Trong lí thuyết xác suất, ta có một số loại hội tụ thường gặp như sau: Giả sử X, X_1, X_2,\dots là một dãy biến ngẫu nhiên trong không gian xác suất (\Omega, \mathcal{F}, P)

Định nghĩa (hội tụ theo xác suất). (X_n) đgl hội tụ theo xác suất (P) tới X nếu
P(|X_n  -X|  > \epsilon) \to 0\quad (n\to \infty) \quad \quad \forall \epsilon > 0.
Kí hiệu X_n \to^{P} X.

Định nghĩa (hội tụ hầu chắc chắn). (X_n) đgl hội tụ hầu chắc chắn (a.s.) tới X nếu tồn tại A\in \mathcal{F}, P(A) = 0 để X_n(\omega) \to X(\omega) với mọi \omega \in \Omega \setminus A.
Kí hiệu X_n \to^{a.s.} X.

Định nghĩa (hội tụ theo phân bố). (X_n) đgl hội tụ theo phân bố (d) tới X nếu với mọi điểm x\in C_F(x) = \{x \colon F(x) \text{ liên tục} \} thì F_n(x) \to F(x).
Kí hiệu X_n \to^{d} X.

Định nghĩa (hội tụ theo chuẩn L^p). p\geq 1, ta nhắc lại không gian các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p cùng với chuẩn \| X \|_p = (\int_{\Omega} |X|^p dP)^{1/p} là một không gian Banach. Khi đó ta có sự hội tụ X_n \to X trong không gian này được gọi là hội tụ theo chuẩn L^p.

Trong bài viết này, ta sẽ chỉ ra tất cả những sự kéo theo (không tầm thường) của 4 loại hội tụ trên. Cụ thể:
(1) (L^p) suy ra (P)
(2) (a.s) suy ra (P)
(3) (P) suy ra (d).

(1) suy ra dễ dàng từ bất đẳng thức Chebyshev:
P(|X_n - X| > \epsilon) \leq \dfrac{E|X_n-X|^p}{\epsilon^p}\quad \forall \epsilon > 0.

Với (2), có nhiều cách chứng minh, ở đây mình note lại cách chứng minh sử dụng Ky Fan metric, đầu tiên ta có nhận xét rằng X_n \to^p X nếu và chỉ nếu E[|X_n-X|\wedge 1] \to 0. Thực vậy chiều nếu (<=) ta chỉ cần dùng bất đẳng thức Chebyshev, còn chiều =>, ta chỉ cần đánh giá bình thường
E[|X_n-X| \wedge 1] = E[(|X_n-X| \wedge 1)I(|X_n-X|>\epsilon)]+E[(|X_n-X|\wedge 1)I(|X_n-X| \leq\epsilon)]
< P(|X_n-X|>\epsilon)] +\epsilon
tiến đến 0 khi ta cho n\to \infty trước rồi \epsilon \to 0. (I là hàm chỉ tiêu.)

Từ nhận xét đó, ta có thể chứng minh bổ đề mà có thể trực tiếp suy ra (2) như sau:
Bổ đề. X_n \to^{p} X nếu và chỉ nếu với mỗi tập chỉ số con N' \subset \mathbb{N} đều có một tập chỉ số con N'' \subset \mathbb{N} thỏa mãn X_n \to^{a.s.} X
Chứng minh. (=>) Với mọi tập chỉ số con N' của \mathbb{N}, vì E[|X_n-X| \wedge 1] \to 0 nên tồn tại một tập chỉ số con N'' \in N' để \sum_{n\in N''} E[|X_n-X| \wedge 1] < \infty. Theo định lí hội tụ đơn điệu
  E[\sum_{n\in N''}(|X_n-X| \wedge 1)]=\sum_{n\in N''} E[|X_n-X| \wedge 1] < \infty.
Suy ra \sum_{n\in N''}(|X_n-X| \wedge 1) hữu hạn hầu khắp nơi, hay nói cách khác là chuỗi đó hội tụ hầu khắp nơi, suy ra |X_n-X|\to  0 hầu khắp nơi (n\in N'', n\to \infty).
(<=) Phản chứng rằng tồn tại X_n \not \to^p X, khi đó E[|X_n-X|\wedge 1] \not \to 0. Tồn tại dãy chỉ số con N'' để X_n \to^{a.s.} X, suy ra |X_n-X|\wedge 1 \to^{a.s.} 0 với n\in N''. Theo định lí hội tụ bị chặn, E[|X_n-X|\wedge 1] \to^{a.s.} 0. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh.


(3) Đây là một chứng minh mình học được trong khóa học của thầy Sơn
Chứng minh. Với x\in C_F, ta sẽ đi chỉ ra
F(x-\epsilon)  < \lim \inf F_n \leq \lim \sup F_n \leq F(x+\epsilon).
Thật vậy,
F_n(x) = P(X_n < x) = P(X_n < x,X<x+\epsilon) + P(X_n < x, X\geq x+ \epsilon)
\leq F(x+\epsilon) + P(|X-X_n| > \epsilon).
Cho n\to \infty, lấy \lim \sup hai vế suy ra
\lim \sup F_n(x) \leq F(x+\epsilon).
Hoàn toàn tương tự
F(x-\epsilon) \leq F_n(x)+ P(|X-X_n| >\epsilon)
suy ra
F(x-\epsilon) \leq \lim \inf F_n(x)
Vậy điều ta muốn chứng minh là đúng, cho \epsilon \to 0, vì x\in C_F ta có (3).

Một số phản ví dụ cho các chiều ngược lại: https://trongdatdo.blogspot.com/2019/12/phan-vi-du-cua-mot-so-su-keo-theo-hoi.html










Nhận xét

  1. Nhận xét này đã bị tác giả xóa.

    Trả lờiXóa
  2. Cho phản ví dụ điều ngược lại ko đúng đi a

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Giờ tớ mới thấy comment :-) đấy cũng là một trong những bài blog t định viết

      Xóa
  3. Cái chỗ xác suất của Xn bé hơn x sao lại bằng tổng 2 xác xuất đó v anh

    Trả lờiXóa
    Trả lời
    1. Tại vì sự kiện đó bằng hợp rời của 2 sự kiện bên vế phải em ạ ^^

      Xóa

Đăng nhận xét