Sự kéo theo của các loại hội tụ trong xác suất

Trong lí thuyết xác suất, ta có một số loại hội tụ thường gặp như sau: Giả sử $X, X_1, X_2,\dots$ là một dãy biến ngẫu nhiên trong không gian xác suất $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

Định nghĩa (hội tụ theo xác suất). $(X_n)$ đgl hội tụ theo xác suất (P) tới $X$ nếu
$$ P(|X_n  -X|  > \epsilon) \to 0\quad (n\to \infty) \quad \quad \forall \epsilon > 0.$$
Kí hiệu $X_n \to^{P} X$.

Định nghĩa (hội tụ hầu chắc chắn). $(X_n)$ đgl hội tụ hầu chắc chắn (a.s.) tới $X$ nếu tồn tại $A\in \mathcal{F}, P(A) = 0$ để $X_n(\omega) \to X(\omega)$ với mọi $\omega \in \Omega \setminus A$.
Kí hiệu $X_n \to^{a.s.} X$.

Định nghĩa (hội tụ theo phân bố). $(X_n)$ đgl hội tụ theo phân bố (d) tới $X$ nếu với mọi điểm $x\in C_F(x) = \{x \colon F(x) \text{ liên tục} \}$ thì $F_n(x) \to F(x)$.
Kí hiệu $X_n \to^{d} X$.

Định nghĩa (hội tụ theo chuẩn $L^p$). $p\geq 1$, ta nhắc lại không gian các biến ngẫu nhiên khả tích bậc $p$ cùng với chuẩn $\| X \|_p = (\int_{\Omega} |X|^p dP)^{1/p}$ là một không gian Banach. Khi đó ta có sự hội tụ $X_n \to X$ trong không gian này được gọi là hội tụ theo chuẩn $L^p$.

Trong bài viết này, ta sẽ chỉ ra tất cả những sự kéo theo (không tầm thường) của 4 loại hội tụ trên. Cụ thể:
(1) ($L^p$) suy ra (P)
(2) (a.s) suy ra (P)
(3) (P) suy ra (d).

(1) suy ra dễ dàng từ bất đẳng thức Chebyshev:
$$P(|X_n - X| > \epsilon) \leq \dfrac{E|X_n-X|^p}{\epsilon^p}\quad \forall \epsilon > 0.$$

Với (2), có nhiều cách chứng minh, ở đây mình note lại cách chứng minh sử dụng Ky Fan metric, đầu tiên ta có nhận xét rằng $X_n \to^p X$ nếu và chỉ nếu $E[|X_n-X|\wedge 1] \to 0$. Thực vậy chiều nếu (<=) ta chỉ cần dùng bất đẳng thức Chebyshev, còn chiều =>, ta chỉ cần đánh giá bình thường
$$ E[|X_n-X| \wedge 1] = E[(|X_n-X| \wedge 1)I(|X_n-X|>\epsilon)]+E[(|X_n-X|\wedge 1)I(|X_n-X| \leq\epsilon)] $$
$$< P(|X_n-X|>\epsilon)] +\epsilon$$
tiến đến 0 khi ta cho $n\to \infty$ trước rồi $\epsilon \to 0$. ($I$ là hàm chỉ tiêu.)

Từ nhận xét đó, ta có thể chứng minh bổ đề mà có thể trực tiếp suy ra (2) như sau:
Bổ đề. $X_n \to^{p} X$ nếu và chỉ nếu với mỗi tập chỉ số con $N' \subset \mathbb{N}$ đều có một tập chỉ số con $N'' \subset \mathbb{N}$ thỏa mãn $X_n \to^{a.s.} X$
Chứng minh. (=>) Với mọi tập chỉ số con $N'$ của $\mathbb{N}$, vì $E[|X_n-X| \wedge 1] \to 0$ nên tồn tại một tập chỉ số con $N'' \in N'$ để $\sum_{n\in N''} E[|X_n-X| \wedge 1] < \infty$. Theo định lí hội tụ đơn điệu
 $$ E[\sum_{n\in N''}(|X_n-X| \wedge 1)]=\sum_{n\in N''} E[|X_n-X| \wedge 1] < \infty.$$
Suy ra $\sum_{n\in N''}(|X_n-X| \wedge 1)$ hữu hạn hầu khắp nơi, hay nói cách khác là chuỗi đó hội tụ hầu khắp nơi, suy ra $|X_n-X|\to  0$ hầu khắp nơi ($n\in N'', n\to \infty$).
(<=) Phản chứng rằng tồn tại $X_n \not \to^p X$, khi đó $E[|X_n-X|\wedge 1] \not \to 0$. Tồn tại dãy chỉ số con $N''$ để $X_n \to^{a.s.} X$, suy ra $|X_n-X|\wedge 1 \to^{a.s.} 0$ với $n\in N''$. Theo định lí hội tụ bị chặn, $E[|X_n-X|\wedge 1] \to^{a.s.} 0$. Mâu thuẫn này kết thúc chứng minh.


(3) Đây là một chứng minh mình học được trong khóa học của thầy Sơn
Chứng minh. Với $x\in C_F$, ta sẽ đi chỉ ra
$$F(x-\epsilon)  < \lim \inf F_n \leq \lim \sup F_n \leq F(x+\epsilon).$$
Thật vậy,
$$F_n(x) = P(X_n < x) = P(X_n < x,X<x+\epsilon) + P(X_n < x, X\geq x+ \epsilon)$$
$$\leq F(x+\epsilon) + P(|X-X_n| > \epsilon).$$
Cho $n\to \infty$, lấy $\lim \sup$ hai vế suy ra
$$\lim \sup F_n(x) \leq F(x+\epsilon).$$
Hoàn toàn tương tự
$$F(x-\epsilon) \leq F_n(x)+ P(|X-X_n| >\epsilon)$$
suy ra
$$F(x-\epsilon) \leq \lim \inf F_n(x)$$
Vậy điều ta muốn chứng minh là đúng, cho $\epsilon \to 0$, vì $x\in C_F$ ta có (3).

Một số phản ví dụ cho các chiều ngược lại: https://trongdatdo.blogspot.com/2019/12/phan-vi-du-cua-mot-so-su-keo-theo-hoi.html