Đường tròn mật tiếp của một đường cong

Khái niệm đường tròn mật tiếp (osculating circle) được sinh ra vào khoảng thế kỉ 17 để trả lời câu hỏi về việc đo "độ cong" tại một điểm của một đường cong. Cho đường cong $C$ và điểm$p\in C$. Một cách cổ điển, đường tròn mật tiếp được định nghĩa là giới hạn của đường tròn ngoại tiếp của $p$ và hai điểm trên đường cong khi chúng tiến đến $p$. Sau đó độ cong của đường cong được tính bằng nghịch đảo của bán kính đường tròn ngoại tiếp. (Khá tự nhiên vì đường tròn to hơn thì phải ít cong hơn.)

                               

Trong các sách về hình học vi phân hiện đại, để tiện tính toán, chúng ta thường định nghĩa độ cong bằng công thức Frenet. Rõ hơn, với $\gamma \colon I \to\mathbb{R}^2, t\mapsto (x(t),y(t))$ là một đường cong được tham số hóa chính quy, ta có công thức tính độ cong của $\gamma$ tại $\gamma(t)$ là

$$\mathcal{K}_G(t) = \dfrac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{((x'(t))^2 + (y'(t))^2)^{3/2}}.$$

Bài viết này sẽ chứng minh sự tương đương của hai khái niệm đó; hay chúng ta sẽ chỉ ra rằng với độ cong được định nghĩa như trên, với mọi $s\in I$ và $C$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\gamma(s),\gamma(s+h_1),\gamma(s+h_2)$ thì khi $(h_1,h_2) \to 0$, giới hạn của $C$ sẽ là

$$C = \gamma(s) + \dfrac{1}{\mathcal{K}_G(s)} N(s),$$

trong đó $N(t)$ là vector pháp tuyến đơn vị của $\gamma(s)$ (suy ra bán kính của đường tròn mật tiếp sẽ là nghịch đảo của độ cong).

Thật vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể sử dụng một phép vị tự và một phép quay để đưa $\gamma(s) = 0$ và vector pháp tuyến đơn vị của $T(s)$ là $(1,0)$, suy ra $y'(s)=0$ và $N(t) = (0,1)$. 

Ta sẽ chứng minh rằng với mỗi $h\to 0$, đường trung trực của $O\gamma(s+h)$ sẽ đi qua $(0, \dfrac{1}{\mathcal{K_G(s)}})$. Gọi đường trung trực đó cắt $Oy$ tại $(0,y_h)$, ta có

$$y_h^2 = (x(s+h))^2 + (y_h-y(s+h))^2.$$

Suy ra 

$$y_h = \dfrac{x(s+h)^2 + y(s+h)^2}{2y(s+h)}.$$

Sử dụng liên tiếp quy tắc L'Hospital, để ý $x(s)=y(s)=y'(s) = 0$, ta có

$$\lim_{h\to 0} y_h =  \lim_{h\to 0} \dfrac{x(s+h)^2}{2y(s+h)} = \lim_{h\to 0} \dfrac{x'(s+h)x(s+h)}{y'(s+h)}$$

$$=   \lim_{h\to 0} \dfrac{x'(s+h)x(s+h)}{y'(s+h)} = \lim_{h\to 0} \dfrac{x(s+h)}{y'(s+h)/x'(s+h)}$$

$$=   \lim_{h\to 0} \dfrac{(x'(s+h))^3}{y''(s+h)x'(s+h) - y'(s+h)x''(s+h)}$$

$$=  \dfrac{(x'(s))^3}{y''(s)x'(s)- y'(s)x''(s)}= \dfrac{1}{\mathcal{K}_G(t)}.$$

Vậy khi $(h_1,h_2) \to 0$, cả hai trung trực của $O\gamma(s+h_1)$ và $O\gamma(s+h_2)$ đều đi qua $(0, \dfrac{1}{\mathcal{K_G(s)}})$, hay điểm đó chính là tâm của đường tròn mật tiếp.

Có một cách khác để định nghĩa đường tròn mật tiếp. Trong cuốn sách Banchoff và Lovett, Differential Geometry of Curves of Surfaces, người ta có đưa ra một định nghĩa về cái gọi là "chỉ số tiếp xúc" của hai đường cong $C_1$ và $C_2$: Giả sử có điểm $p$ nằm trên cả hai đường tròn. Với mỗi $A\in C_1$ gần $P$, ta định nghĩa $D_A$ là hình chiếu của $A$ trên $C_2$ (điểm trên $C_2$ mà gần với $A$ nhất). Khi đó $C_2$ được gọi là tiếp xúc cấp $n$ với $C_1$ tại $p$ nếu $\lim_{P\to A} \dfrac{AD_A}{AP^k} = 0$ với mọi $k\leq n$ và khác $0$ nếu $k=n+1$. Sau đó người ta định nghĩa đường tròn mật tiếp tại $P$ của $C$ là đường tròn đi qua $P$ và có chỉ số giao là bằng 2 với $C$ và chứng minh được kết quả tương tự trên. (Tiếp xúc cấp 1 là tiếp tuyến, cấp 2 là đường tròn mật tiếp: khá thú vị.)