Hàm đặc trưng

Bài viết này đề cập đến hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên, một vài tính chất, và ví dụ về hàm đặc trưng của các biến ngẫu nhiên quen thuộc. Chúng ta còn trả lời câu hỏi: Khi nào tổng của hai biến ngẫu nhiên có cùng loại phân bố vẫn có phân bố đó.

1. Với một biến ngẫu nhiên $X$ được xác định trên không gian $(\Omega, \mathcal{F}, P)$, kí hiệu $\mu_X$ là độ đo sinh bởi $X$ (tức $\mu_X(B) = P(X\in B)$ với mọi tập Borel $B$). Ta định nghĩa hàm đặc trưng của $X$ là hàm $\phi_X : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ xác định bởi
$$\phi_X(t) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} d\mu_X(x).$$
Trong giải tích điều hòa, ta cũng hay nói rằng $\phi_X$ là biến đổi Fourier của $\mu_X$.

1.1. Tại sao lại gọi là hàm "đặc trưng"? Lí do tại vì nó đặc trưng cho phân bố: phân bố của một biến ngẫu nhiên có thể được xác định hoàn toàn thông qua hàm đặc trưng của nó:
Định lí 1.(Công thức ngược Levy). Với mọi bnn $X$ có phân bố $\mu$ và hàm đặc trưng $\phi$,
$$\lim_{T \to \infty} \dfrac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T} \dfrac{e^{-ita} - e^{-itb} }{it} \phi(t) dt = \mu(\{a,b\}) + \dfrac{\mu(\{a\}) + \mu(\{b\})}{2}.$$
Chú ý. Từ công thức trên ta có $\mu((a,b))$ sẽ được xác định duy nhất từ $\phi$ với các điểm $a,b$ mà $\mu(\{a\})= \mu(\{b\}) =0$. Vì các điểm như thế trù mật trong $\mathbb{R}$ nên $\mu$ được xác định duy nhất.

1.2. Hàm đặc trưng cũng cho ta một tiêu chuẩn để xác định xem khi nào biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:
Định lí 2. (Biến đổi Fourier ngược). Nếu biến ngẫu nhiên $X$ có hàm đặc trưng $\phi \in L^1(\mathbb{R})$ thì hàm đặc trưng của nó là
$$f(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \phi(t) e^{-itx} dt.$$

1.3. Trong nghiên cứu về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, định lí Portmanteau và định lí Levy nói rằng sự hội tụ theo phân bố, hội tụ yếu, và hội tụ theo hàm đặc trưng là tương đương nhau. Cụ thể, cho dãy biến ngẫu nhiên $(X_n)_n$ và biến ngẫu nhiên $X$. Khi đó 3 điều sau tương đương
(1) $X_n$ hội tụ đến $X$ theo phân bố, tức $P(X_n\leq x) \to P(X\leq x)$ với mọi $x$ là điểm liên tục của $P(X\leq \cdot)$;
(2) $Eh(X_n) \to Eh(X)$ với mọi $h$ liên tục bị chặn trên $\mathbb{R}$;
(3) $\phi_{X_n}(t) \to \phi_X(t)$ với mọi $t\in \mathbb{R}$.

1.4. Nếu hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ là độc lập thì $\phi_{X+Y} = \phi_X \phi_Y$.

1.5. Nếu $X$ có moment bậc $k$ thì $\phi_X$ khả vi liên tục đến cấp $k$ và được tính qua hàm đặc trưng theo công thức
$$EX^k =\dfrac{\phi^{(k)}(0)}{i^{k}} $$

2.  Hàm đặc trưng của một số phân bố 

2.1.  Phân bố Bernoulli $B(p)$ có hàm đặc trưng
$$\phi(t) = pe^{it} + (1-p)$$

2.2. Phân bố nhị thức $B(n, p)$ có hàm đặc trưng
$$\phi(t) = (1- p +pe^{it})^n $$

2.3. Phân bố Poisson $Poi(\lambda)$ có hàm đặc trưng
$$\phi(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)} $$

2.4. Phân bố Gamma $Gam(r,\theta)$
$$\phi(t) = (1- it\theta)^{-r} $$

2.5. Phân bố mũ $Exp(\lambda)$
$$\phi(t) = (1- it \lambda^{-1})^{-1} $$

2.6. Phân bố chuẩn $N(\mu, \sigma^2)$
$$\phi(t) = e^{i\mu t - \sigma^2 t^2/2} $$

3. (Self-reproducing property) Từ 1.1, 1.4, và 2., ta có: với hai biến ngẫu nhiên độc lập $X$, $Y$

3.1. Nếu $X\sim B(n, p), Y\sim B(m, p)$ thì $X+Y \sim B(m+n, p)$,

3.2. Nếu $X\sim Poi(\lambda), Y\sim Poi(\theta)$ thì $X+Y \sim Poi(\theta + \lambda)$,

3.3. Nếu $X\sim Gam(r, \theta), Y\sim Poi(t, \theta)$ thì $X+Y \sim Gam(r+t, \theta)$

3.4. Nếu $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ thì $X+ Y\sim N(\mu_1 + \mu_2,\sigma_1^2 +. \sigma_2^2)$.