Các định lí Sylow

Ba định lí mang tên nhà toán học người Na-uy Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832 - 1918) là những định lí quan trọng trong lí thuyết nhóm, cho ta biết thông tin về các nhóm con có cấp đặc biệt (cụ thể là luỹ thừa của số nguyên tố) trong một nhóm hữu hạn. Nhờ có các định lí này mà việc phân loại các nhóm hữu hạn trở nên dễ dàng hơn. Trong bài viết này, ta sẽ nêu ra các định lí Sylow và chứng minh nó bằng công cụ tác động nhóm.

Trong suốt bài này ta luôn giả sử $G$ là một nhóm có phần tử đơn vị là $e$ và có cấp chia hết cho số nguyên tố $p$. Trước tiên ta cần khái niệm về các $p-$nhóm

Định nghĩa.

1.  Nhóm $H$ được gọi là một $p-$nhóm nếu cấp của nó là một luỹ thừa của $p$.
2.  Nhóm $H$ được gọi là một $p-$ nhóm con của $G$ nếu nó vừa là một nhóm con của $G$ vừa là một $p-$nhóm.
3.  Nhóm $H$ được gọi là một $p-$ nhóm con Sylow của $G$ nếu $H$ là một $p-$nhóm con của $G$ và $|H| = p^n$ là luỹ thừa cao nhất của $p$ chia hết $|G|$.

Định lí (Định lí Sylow thứ nhất).

Cho $G$ là một nhóm hữu hạn và $p$ là một số nguyên tố chia hết $|G|$. Khi đó $G$ chứa một $p-$nhóm con Sylow.

Định lí (Định lí Sylow thứ hai).

Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và $p$ là số nguyên tố chia hết $|G|$. Nếu $H$ là một $p-$nhóm con của $G$ và $P$ là một $p-$nhóm con Sylow của $G$ thì tồn tại $g\in G$ để $g^{-1}H g\leq P $. Nói riêng, hai $p-$nhóm con Sylow bất kì của $G$ là liên hợp.

Định lí (Định lí Sylow thứ ba).

Giả sử $G$ là một nhóm hữu hạn và $p$ là số nguyên tố chia hết $|G|$. Viết $|G| = p^k m$ với $p \not | m$. Gọi $n_p$ là số $p-$nhóm con Sylow của $G$. Khi đó

$$n_p | m,$$

và

$$n_p \equiv 1 \pmod{p}.$$