Phân loại các nhóm có cấp là tích của hai số nguyên tố

Trong bài viết này ta sẽ sử dụng các kiến thức về tác động nhóm, tích nửa trực tiếp và các định lí Sylow trong các bài đăng trước để phân loại một cách trọn vẹn các nhóm có cấp là tích của hai số nguyên tố bất kì.

Kết quả chính trong bài này là
Mệnh đề.  Với $G$ là một nhóm, $|G| = pq$, trong đó $p,q$ là các số nguyên tố.

1. Nếu $p = q$, nhóm $G$ là abel và khi đó $G \cong \left[ \begin{matrix} \mathbb{Z}/p^2 \\ \mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/p \end{matrix} \right.$
2. Nếu $p < q$, nhóm $G \cong \mathbb{Z}/q \rtimes \mathbb{Z}/p$, đặc biệt khi $q \not \equiv 1 \pmod{p}$, $G \cong \mathbb{Z}/q \times \mathbb{Z}/p$.

Chứng minh.

1. Đầu tiên ta chứng minh tâm của $G$- $Z(G)$ là không tầm thường. Xét tác động của $G$ lên chính nó bằng tác động liên hợp, khi đó theo phương trình lớp thì

\[ |G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{m} |\text{Orb}(x_i)|,\]

với các $|\text{Orb}(x_i)| >1$, mà $|\text{Orb}(x_i)|  = |G| / |Stab(x_i)|$ là ước của $p^2$, nên nó phải chia hết cho $p$, vế phải là $|G| = p^2$. Vậy $p | Z(G)$ mà $\text{Card}Z(G) > 0$ (vì nó chứa $e$). Vậy $|Z(G)| = p$ hoặc $p^2$. Trường hợp sau ta có $Z(G) = G$ và là nhóm abel. Với trường hợp đầu,  $G/Z(G)$ là một nhóm có $p$ phần tử nên là cyclic, giả sử nó sinh bởi $[t]$. Mọi phần tử của $G$ có dạng $at^u$ với $a\in Z(G)$, với hai phần tử $x, y$ bất kì của $G$ ta có

$$xy = at^u bt^v = ab t^{u+v} = bt^v at^u = yx.$$

Nói chung là $G$ là abel.

Tiếp theo, nếu $G$ có một phần tử cấp $p^2$ thì $G\cong \mathbb{Z}/p^2$ ngay. Ngược lại, nếu mọi phần tử khác $e$ của $G$ có cấp là $p$, chọn ra một phần tử $a$. $G/\langle a \rangle$ có cấp là $p$ nên nó là cyclic sinh bởi $[b]$, vậy nhóm abel $G = \{ a^ib^j \mid i, j = 0,\dots, p-1\} \cong \mathbb{Z}/p \times \mathbb{Z}/p$.

2. Với $p < q$, gọi $n_q$ là số $q-$nhóm con Sylow của $G$, theo định lí Sylow thứ 3, ta có

\[ n_q\, | \, p , n_q \equiv 1 \pmod{p} .\]

Suy ra $n_q = 1$. Vậy theo định lí Sylow thứ 2, $q-$nhóm Sylow duy nhất $N$ của $G$ là nhóm con chuẩn tắc. Theo định lí Sylow thứ nhất, tồn tại nhóm con $H$ có $p$ phần tử. Ta có $N\cap H$ là nhóm con của $N$ và $H$ nên có cấp là ước của $p, q$. Suy ra $N\cap H = \{e \}$. Vậy $nh \neq n'h' \,\,\forall \, n,n' \in N, h,h'\in H$, hay $\langle N, H\rangle$ có $pq$ phần tử, bằng $G$. Túm lại

\[G \cong N \rtimes H.\]

Khi $q \not \equiv 1 \pmod{p}$, số các $p-$nhóm con Sylow của $G$ $n_p | q$ và $n_p \equiv 1\pmod{p}$, nhưng $n_p$ không thể bằng $q$. Vậy $G$ chỉ có duy nhất một $p-$nhóm con Sylow, vậy $H \triangleleft G$, và khi đó 

\[G \cong N \times H.\]