Tích nửa trực tiếp của hai nhóm

Trong khi học lí thuyết nhóm đến phần tích trực tiếp, chắc hẳn ai cũng đã một lần đọc qua định lí cho ta biết khi nào thì một nhóm đẳng cấu với tích trực tiếp của hai nhóm con của nó (định lí I.8.4 sách ĐSĐC thầy Hưng, ...)
Định lí. Giả sử $A, B$ là hai nhóm con chuẩn tắc của $G$ với $A\cap B = \{e\}$ là phần tử đơn vị của $G$ và $AB =G$, thì khi đó
$$G \cong A\times B.$$
Có thể chứng minh định lí này thông qua hai bước là (1) chỉ ra $ab =ba \,\, \forall \, a\in A, b\in B$ và (2) chứng minh mọi phần tử của $G$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng $ab$ với $a\in A, b\in B$, sau đó ta xây dựng được một đẳng cấu $G\to A\times B$, $ab \mapsto (a,b)$ một cách tự nhiên.

Điều kiện $A\cap B$ tầm thường và $AB= G$ là tốt rồi, nhưng câu hỏi đặt ra ở đây là liệu điều kiện cả $A, B$ đều là nhóm con chuẩn tắc của $G$ có phải là "nhiều quá" không ? Mày mò một lúc, ta có phản ví dụ rằng nếu chỉ một trong hai nhóm là chuẩn tắc là chưa đủ, giả dụ như nhóm Dihedral thứ $n$ với $n\geq 3$
$$ D_n = \langle a,b \mid a^n = b^2 = (ab)^2 = e \rangle$$
có hai nhóm con lần lượt đẳng cấu với $\mathbb{Z}/n$ và $\mathbb{Z}/2$ là $\langle a \rangle$ và $\langle b \rangle$, trong đó $\langle a \rangle \triangleleft D_n$, nhưng
$$D_n \not \cong \mathbb{Z}/n \times \mathbb{Z}/2,$$
lí do đơn giản là vì $D_n$ không abel còn $\mathbb{Z}/n \times \mathbb{Z}/2$ thì có.

Vậy khi chỉ có một trong hai nhóm con là chuẩn tắc, $G$ nói chung không đẳng cấu với tích trực tiếp của $A$ và $B$, mà nó đẳng cấu với một nhóm tích của $A$ và $B$ với phép hợp thành được định nghĩa một cách "xoắn" hơn, khiến cho $A, B$ xích lại gần nhau bù đắp đi việc một nhóm là không chuẩn tắc, mà ta gọi là tích nửa trực tiếp của $A$ và $B$ như sau
Định nghĩa (Tích nửa trực tiếp). $G$ là một nhóm với phần tử đơn vị $e$, $N, H$ là các nhóm con của $G$ trong đó $N\triangleleft G$. Ta xét đồng cấu nhóm
$\varphi \colon  H \to \text{Aut}(N)$, $h \mapsto \, \varphi_h$, với $\varphi_h$ là phép lấy liên hợp bởi $h$ (định nghĩa là tốt do $N$ là chuẩn tắc). Khi đó ta có thể trang bị cho tập hợp tích Decartes $N \times H$ một phép toán hai ngôi $\cdot \colon  (N \times H) \times (N\times H) \to N\times H$ $$ (n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 \varphi_{h_1}(n_2), h_1h_2)$$
để nó trở thành một nhóm, gọi là tích nửa trực tiếp của $N$ và $H$, kí hiệu là $N \rtimes H$. Ta chỉ ra được rằng phần tử đơn vị của nhóm này là $(e, e)$, phần tử nghịch đảo của $(n, h)$ là $(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$.

Khi này, nếu $G = \langle N, H\rangle$ và $N \cap H  = \{e\}$ thì ta cũng có thể chứng minh với mọi $g\in G$ có biểu diễn duy nhất dưới dạng $nh$ với $n\in N, h\in H$. Thực vậy, vì $N\triangleleft G$ nên mọi phần tử của $G$ có biểu diễn dưới dạng $nh$, và hơn nữa nếu $$nh =n'h', \,\,\, n, n'\in N, h, h' \in H,$$
 thì $$h^{-1}nn'^{-1}h = h^{-1}h',$$
vế trái thuộc $N$, vế phải thuộc $H$ nên $h^{-1}nn'^{-1}h = h^{-1}h'= e$, từ đó có $n=n', h =h'$.
Cuối cùng xét ánh xạ $\Gamma \colon G \to N \rtimes H$, $nh \mapsto (n, h)$. Từ những lập luận trên ta thấy đây là song ánh, mà $$\Gamma(n_1h_1)\Gamma(n_2h_2) = (n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1h_1n_2h_1^{-1},h_1h_2) = \Gamma(n_1h_1n_2h_2).$$
 Vậy đây là một đẳng cấu. Tóm lại
$$ G \cong N \rtimes H.$$