Trong miền chính, mọi ideal nguyên tố không tầm thường đều là cực đại

Ta đã biết trong một vành giao hoán có đơn vị, mọi ideal cực đại đều là ideal nguyên tố. Nhưng khi vành là một miền chính, ta có hai khái niệm là tương đương.

Mệnh đề. Trong một miền chính, mọi ideal nguyên tố không tầm thường (khác 0) đều là cực đại.

Chứng minh. Giả sử $A$ là một ideal nguyên tố, nó có dạng $(a)$ do đây là miền chính. Nếu có một ideal $(b)$ sao cho
$$(a) \subset (b) \subset R$$
thì $a \in (b)$, hay tồn tại $c\in R$ để
$$a = bc.$$
Suy ra
$$bc \in (a).$$
Vì $(a)$ là nguyên tố, ta có $b$ hoặc $c$ thuộc $(a)$. Nếu $b\in (a)$ thì $(b)\subset (a)$ từ đó $(a) = (b)$. Ngược lại, $c\in (a)$ thì $c = da, \,\,\, d\in R$, suy ra
$$a =bc = bda.$$
Do $a\neq 0$, theo luật giản ước, $bd = 1$, hay $1 \in (b)$, suy ra $(b)= R$. Vậy $(a)$ là cực đại.

Sau khi đã học về vành nhân tử hoá và biết rằng mỗi miền chính đều là vành nhân tử hoá, ta có thể chứng minh một cách đơn giản bằng nhận xét $(a)$ là nguyên tố khi và chỉ khi $a$ là bất khả quy, vì thế $a = bc$ nghĩa là $b$ hoặc $c$ khả nghịch. Trường hợp đầu cho ta $(b) = R$, trường hợp sau suy ra $(b) = (a)$. Tóm lại $(a)$ là cực đại.

Hệ quả. Với $F$ là một trường thì vành đa thức $F[X]$ là một miền chính, và từ đó mọi ideal sinh bởi đa thức bất khả quy $f(X)$ đều là nguyên tố, suy ra cực đại. Vậy $F[X]/(f(X))$ là một trường.