$Y$ Banach $\Leftrightarrow$ $\mathcal{B}(X,Y)$ Banach

Trong khi học lí thuyết giải tích hàm, ta đã biết định lí quan trọng, nói rằng với $X$, $Y$ là hai không gian định chuẩn và $Y$ là Banach thì $\mathcal{B}(X,Y)$ cũng là Banach.

Chứng minh định lí này rất tự nhiên và không khó, gọi $(T_n)$ là một dãy Cauchy trong $\mathcal{B}(X,Y)$, khi đó $(T_n x)$ là một dãy Cauchy trong $Y$ với mọi $x\in X$, vì thế nó hội tụ đến $Tx \in Y$. Sau đó chỉ ra được $T$ cũng thuộc $\mathcal{L}(X,Y)$. Hơn nữa với mọi $x\in X$ và $n >N(\epsilon)$
$$\left\lVert T_n x - Tx \right\rVert = \left\lVert T_n x - \lim_{m\to \infty} T_mx \right\rVert = \lim_{m\to \infty} \left\lVert T_n x - T_m x \right\rVert \leq \epsilon \left\lVert x \right\rVert.$$
Có dấu bằng thứ 2 vì nếu $\lim_{n\to \infty} y_n = y$ trong $Y$ thì $\lim_{n\to \infty} \left\lVert y_n \right\rVert = \left\lVert y\right\rVert$. Từ đó có được $T$ cũng bị chặn, và $T_n$ hội tụ đều đến $T$.

Mục đích chính trong bài viết này là chứng minh chuyện ngược lại, hay

Mệnh đề. Cho $X,Y$ là hai không gian định chuẩn, $X\neq \{0\}$, khi đó $\mathcal{B}(X,Y)$ là Banach thì $Y$ cũng là Banach.

Chứng minh. Xét $(y_n)$ là một dãy Cauchy trong $Y$. $x_0$ là một phần tử $\neq 0$ bất kì trong $X$, theo định lí Hahn-Banach, tồn tại $x_0' \in X'$ thoả mãn
$$x_0'(x_0) = 1, \left\lVert x_0' \right\rVert = \dfrac{1}{\left\lVert x_0 \right\rVert}.$$
Với mỗi $y\in Y$, xét $f_y \colon X \to Y$
$$f_y (x) = x_0(x) y \,\,\, \forall \, x\in X.$$
Ta thấy $f_y$ là tuyến tính, hơn nữa
$$\left\lVert f_y(x) \right\rVert = |x_0'(x)| \left\lVert y \right\rVert \leq \left\lVert x_0' \right\rVert \left\lVert x \right\rVert \left\lVert y \right\rVert = \left(\dfrac{1}{\left\lVert x_0 \right\rVert} \left\lVert y \right\rVert \right)\left\lVert x \right\rVert \,\,\, \forall \, x\in X$$
$$\Rightarrow  \left\lVert f_y \right\rVert \leq \dfrac{1}{\left\lVert x_0 \right\rVert} \left\lVert y \right\rVert,$$
nên $f_y\in \mathcal{B}(X,Y)$. Vậy $(f_{y_n})\subset \mathcal{B}(X,Y)$, nhưng tương tự trên thì
$$\left\lVert (f_{y_{m}} - f_{y_{n}}) \right\rVert  \leq \dfrac{1}{\left\lVert x_0 \right\rVert} \left\lVert y_m - y_n \right\rVert  \,\,\, \forall \, m,n ,$$
nên nó là dãy Cauchy, hội tụ đến $f \in X'$, và
$$f(x_0) = \lim_{n\to \infty} f_{y_n}(x_0) = \lim_{n\to \infty} x_0'(x_0)y_n   = \lim_{n\to \infty} y_n .$$
Vậy $Y$ đủ.