Phân tích toạ độ cực của ma trận

Ở trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, "phân tích cực" (polar decomposition) của một ma trận là một ý tưởng giống như "phân tích ra toạ độ cực" của các số phức: Với mọi $z\in \mathbb{C}$, tồn tại duy nhất các số thực dương $r$ và phần tử trên đường tròn đơn vị $e^{i\theta}$ để $z = r e^{i\theta}$, trong đó $r$ được gọi là modulus và $\theta$ là argument của số phức. Ở trong bài này, chúng ta cũng sẽ chỉ ra mọi ma trân $M \in \text{GL}_{n}(\mathbb{R})$ đều có phân tích duy nhất
$$M  = OH,$$
với $O \in O_{n}(\mathbb{R})$ là nhóm các ma trận trực giao và $H \in \text{Sym}_{n}^{+}$ là tập hợp các ma trận đối xứng xác định dương.

Đầu tiên, ta đi chỉ ra sự tồn tại của phân tích. Do $MM^{t}$ là một ma trận thực đối xứng xác định dương nên nó có phân tích
$$M^t M  = P Q P^t,$$
với $Q$ là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo $> 0$ (các giá trị riêng của $M^tM$) và $P$ là ma trận trực giao. Xét $R$ là ma trận đường chéo với các phần tử là căn bậc hai của các phần tử của $Q$, ta có
$$\begin{equation} M^t M  = P R^2 P^{t} = (PRP^{t})^2 \end{equation}$$

Đặt $H = PRP^{t}$. Do $\det(H) = |\det(M)| \neq 0$ nên có $O = MH^{-1}$ hay $M =OH$. Thay vào trên thì

\begin{equation} H^t O^t O H = H^2

\end{equation}

Suy ra $O^t O = \text{Id}$. Vậy

$$M = OH, \,\,\,\, O \in O_n(\mathbb{R}), H \in \text{Sym}_{n}^{+}.$$

Về tính duy nhất, giả sử $M$ có một phân tích khác thành $M = UK, \,\,\,\, U \in O_n(\mathbb{R}), K \in \text{Sym}_{n}^{+}.$ Khi đó vì $M^tM = K^2$ mà một ma trận thực đối xứng xác định dương chỉ có duy nhất một căn bậc hai là một ma trận đối xứng xác định dương. Nên $H=K$. Vậy phân tích là duy nhất.