Tóm tắt cách xây dựng tích phân Lebesgue và một số kết quả đáng nhớ

Nền tảng của việc xây dựng cơ sở lí thuyết xác suất hiện đai là dựa vào tích phân Lebesgue. Để mở đầu cho một số bài viết về xác suất, trong bài viết này mình muốn điểm lại một cách vắn tắt cách xây dựng tích phân Lebesgue cho một không gian có độ đo bất kì và một số kết quả đáng nhớ.

Đầu tiên, với một không gian có độ đo $(X,S,\mu)$ bất kì-tức $X$ là một tập hợp khác $\varnothing$, $S$ là một $\sigma-$đại số và $\mu$ là một hàm tập cộng tính không âm được định nghĩa trên $S$, ta gọi hàm $f \colon S \to \mathbb{R}$ là một hàm đơn giản nếu nó chỉ nhận hữu hạn giá trị. Có thể kí hiệu hàm đơn giản là $f =  \sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}$ trong đó $a_i = f(x) ,\,  x \, \in A_i$, $A_i \in S$ và $1_A$ là hàm chỉ tiêu của $A$ (bằng 1 khi $x\in A$ và bằng 0 nếu ngược lại). Với hàm đơn giản $f$ như vậy, đặt
$$I(f) = \sum_{i=1}^{n} a_i \mu(A_i).$$
Để mở rộng việc định nghĩa $I$ cho hàm đo được, ta cần một định lí

Định lí. Với mọi hàm đo được không âm $f$, tồn tại dãy hàm đơn giản đo được $f_n$ đơn điệu tăng tới $f$.
Chứng minh. Ta có thể chọn
$$f_n(x) = \left\{ \begin{matrix}
n \,\,\,\text{ nếu } f(x) \geq n,\\
\dfrac{i-1}{2^n} \,\,\, \text{ nếu } \dfrac{i-1}{2^n} \leq f(x) < \dfrac{i}{2^n}, \,i=1,\dots, n2^n.
\end{matrix}
\right. $$
Với mỗi $x$, chia hai trường hợp $f(x) = \infty$ và $f(x) < \infty$ ta dễ dàng chứng minh được $f_n(x)$ là dãy tăng hội tụ đến $f(x)$. $\square$

Vậy với mỗi $f$ là hàm đo được không âm, đặt
$$I(f) = \sup\{I(g) \colon  g \text{ là hàm đơn giản}, 0\leq g \leq f \}.$$
Ta đã có thể mở rộng miền xác định của $I$ lên các hàm không âm. Định lí hội tụ đơn điệu làm rõ hơn điều này

Định lí (Hội tụ đơn điệu Beppo Levi). Cho dãy hàm đo được, đơn điệu, không âm $(f_n)_n$ hội tụ đến $f$. Khi đó
$$\lim_{n\to \infty} I(f_n) = I(f). $$

Hệ quả là
Bổ đề Fatou. Cho $f_n$ là dãy hàm đo được không âm $(f_n)$ khi đó
$$I(\liminf f_n) \leq \liminf I(f_n).$$

Cuối cùng, để mở rộng ra cho hàm $f$ đo được bất kì, ta viết $f =f^+ + f^-$ với $f^+(x) = \max\{f(x),0\}, f^-(x) = \max\{-f(x),0\}$. Khi đó $f$ được gọi là khả tích Lebesgue nếu $I(f^+), I(f^-) < \infty$, và kí hiệu
$$ I(f) = \int_X f d\mu = I(f^+) - I(f^-).$$
Khi đó tích phân trên một tập hợp $A \in S$ chỉ đơn giản là $I(f 1_{A})$.

Sử dụng bổ đề Fatou, ta có thể chứng minh định lí rất hữu ích
Định lí (Hội tụ bị chặn Lebesgue). $(f_n)_n$ là dãy hàm đo được, hội tụ đến $f$ thỏa mãn $|f_n| \leq g \,\, \forall \, n$ với $g$ là một hàm khả tích Lebesgue, khi đó
$$ \lim_{n\to \infty} I(f_n) = I(f).$$
Chú ý rằng định lí hội tụ bị chặn vẫn đúng nếu ta thay hội tụ (hội tụ hầu khắp nơi) bằng hội tụ theo độ đo (xem trong bài viết).

Ta kết thúc bài viết này bằng việc nêu một số tính chất của tích phân Lebesgue:
1) Tuyến tính:
$$\int_X (af + bg)d\mu = a\int_X f d\mu + b\int_X g d\mu.$$
2) Cộng tính: với $(A_i)_{i=1}^{n}$ là các tập hơp đôi một rời nhau, $A = \cup A_i$ thì
$$\int_A f d\mu = \sum_{i=1}^{n} \int_{A_i} fd\mu.$$
3) Đơn điệu: $f\leq g$ thì
$$\int_X fd\mu \leq \int_X gd \mu .$$
Khi $f$ không âm khả tích, ta còn có
4) $f < \infty$ hầu khắp nơi.
5) Nếu $I(f) = 0 $, $f= 0 $ hầu khắp nơi.