Bất cứ điều gì có lí do hợp lí để xảy ra, nó sẽ xảy ra

Trong bài viết này mình muốn trình bày lời giải cho mệnh đề có trong bất kì khóa học nào về Martingale "whatever always stands a reasonable chance of happening, will almost surely happen — sooner rather than later". Cụ thể: Xét $T$ là thời gian dừng của một martingale $\mathcal{F}_n$  thỏa mãn: Tồn tại $N$ và $ \epsilon > 0$ để

$$ P(T \leq n+N | \mathcal{F}_{n}) \geq \epsilon.$$

Thì khi đó $E[T] < \infty$, và hệ quả là $T < \infty$ hầu chắc chắn.

Ta có thể nghĩ rằng ta đang thực hiện một loạt thí nghiệm, $T$ là thời điểm đầu tiên xảy ra sự kiện ta mong muốn (khi đó ta dừng làm thí nghiệm), $\mathcal{F}_n$ là kết quả $n$ thí nghiệm đầu tiên, và điều kiện trên là một lí do hợp lí để xảy ra sự kiện. Khi đó kết luận sự kiện đó sẽ phải xảy ra trong thời gian hữu hạn

Để chứng minh mệnh đề này, đầu tiên quy nạp để chỉ ra 

$$ P( T > kN)  \leq (1-\epsilon)^k \,\,\, \forall \, k \geq 1.$$

Thực vậy với $k=1$, từ giả thiết, $P(T>N) =P(T > N | \mathcal{F}_0) \leq 1-\epsilon$. Giả sử điều khẳng định đã đúng đến $k$ thì

$$ P (T > (k+1)N) = P ( T > kN, T > (k+1)N) = E(1(T>kN)1(T>(k+1)N))$$

$$=E(E(1(T>kN)1(T > (k+1)N)|\mathcal{F}_{kN})) = E(1(T>kN) E( 1(T > (k+1)N)|\mathcal{F}_{kN}))$$

$$\leq P(T>kN) (1-\epsilon) \leq (1-\epsilon)^{k+1}.$$

(Với 1 là biến cố chỉ thì, và ở dòng thứ 2 đầu tiên ta dùng tính hút của kì vọng điều kiện, sau đó dùng điều kiện $1(T>kN)$ là $\mathcal{F}_{kN}$ đo được.)

Vậy nên

$$E[T] = \sum_{t=1}^{\infty} t P(T=t)=\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=1}^{N} (kN + n) P(T = kN+n)$$

$$\leq \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)N P(T > kN)\leq N\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)(1-\epsilon)^{k}$$

$$N+ \dfrac{N}{\epsilon(1-\epsilon)}< \infty.$$

Hệ quả đầu tiên (tầm thường) của mệnh đề này là khi cho một con khỉ một cái máy gõ chữ để nó đánh một cách ngẫu nhiên, thì hầu chắc chắn đến một lúc nào đó con khỉ sẽ đánh được một vở kịch của Sharkspear. Hệ quả thứ 2 bảo là một anh say rượu bước ra từ một quán bar và đi ngẫu nhiên thì cũng sẽ hầu chắc chắn là về được đến nhà của mình.