Luật 0-1 Borel-Catelli

Luật 0-1 Borel-Catelli là một định luật rất hữu ích và hay được dùng trong lí thuyết xác suất. Nó nói rằng biến cố đuôi gần như luôn xảy ra hoặc không bao giờ xảy ra. Định luật được phát biểu như sau:

Định luật (Borel-Catelli). Với $A_1,A_2,\dots$ là các biến cố. Khi đó
(a) Nếu $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) \leq \infty$ thì $P(\limsup A_n) = 0$;
(b) Nếu $A_1, A_2,\dots$ độc lập và $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty$ thì $P(\limsup A_n) = 1$.

Chứng minh. (a) Do $\limsup A_n = \cap_{m\geq 1} \cup_{k\geq m} A_k$ nên
$$P(\limsup A_n) \leq P(\cup_{k\geq m} A_k) \leq \sum_{k\geq m} P(A_k),$$
với mọi $m$, cho $m \to \infty$, do chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) $ hội tụ ta có điều phải chứng minh.
(b) Từ giả thiết ta có $\forall \, \, m$ thì $\sum_{k\geq m} P(A_k) = \infty$. Do với mọi $x\geq 0$ thì $1-x \leq e^{-x}$ và các biến cố là độc lập,
$$P(cap_{k\geq m} A^c_k) = \prod_{k\geq m} P(A_k^c) \leq e^{\sum_{k\geq m} P(A_k)} = 0.$$
Vậy $P((\cup_{k\geq m} A_{k})^c)=0$, suy ra $P(\cup_{k\geq m} A_{k})=1$ với mọi $m$, tính liên tục của độ đo xác suất cho ta kết quả.