Một số góc nhìn khác nhau về phép nhân ma trận

Nhân ma trận là một phép tính đơn giản và quen thuộc. Trong bài này chúng ta cùng xem lại 2 cách để hiểu về nhân ma trận:

Kí hiệu: đối với ma trận $A$, $A[i,j]$ là phần tử hàng $i$ cột $j$.
$A[i.:]$ là hàng thứ $i$ của $A$
$A[:, j]$ là cột thứ $j$ của $A$.

Xét phép nhân ma trận $AB = C$ với $A \in \mathbb{R}^{m\times n}, B \in \mathbb{R}^{n\times p}, C \in \mathbb{R}^{m\times p}$.

(1) Ta hiểu mỗi phần tử của $C$ như tích trong của hàng của $A$ và cột của $B$.

Đây là cách đơn giản nhất để nhân ma trận và ta dùng cách này trong phần lớn các trường hợp.

(2) Hiểu $C$ như tổng của tích ngoài của cột của $A$ và hàng của $B$


Tuy độ phức tạp tính toán của 2 cách nhân ma trận này là như nhau, nhưng cách 2 có ý nghĩa về mặt thống kê: Khi ta thu thập dữ liệunhiều chiều và tính tổng hoặc trung bình của chúng, nếu có thêm một dữ liệu, như trong cách 1 ta sẽ phải nhân lại ma trận từ đầu, trong khi cách 2 ta chỉ phải tính thêm 1 cái tích ngoài rồi cộng vào, sẽ tiện hơn.

Ngoài ra, từ cách 1, ta cũng có 2 cách khác để thực hành nhân ma trận: Hiểu chúng như tích của vector-ma trận và ma trận-vector
(1.1.)



(1.2.)