- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
Trong giải tích phức, tập Julia và tập Fatou là hai tập bù nhau trong tập hợp các $\mathbb{C}$ các số phức, được xác định theo một ánh xạ. Nói một cách nôm na, với mỗi ánh xạ $f : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$, tập Fatou gồm những số phức mà lân cận của nó "ổn định" dưới tác động của dãy $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ ($f$ hợp thành với chính nó $n$ lần), còn tập Julia thì ngược lại, gồm những số phức mà lân cận của nó "hỗn độn" dưới tác động của dãy $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ và chúng lần lượt được kí hiệu là $F(f)$ và $J(f)$.
Hai tập hợp này được đặt tên theo hai nhà toán học người Pháp là Gaston Julia (1893-1978) và Pierre Fatou (1878-1929).
Định nghĩa : Cho $f : \overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}$ là hàm hữu tỉ phức, tức $f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}$ với $p, q$ là các đa thức hệ số phức. Ta nói rằng dãy hàm $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ liên tục đều tại $z_0$ nếu với mọi $\epsilon >0$, tồn tại $\delta >0$ để $d(f^n(z),f^n(z_0))\leq \epsilon \,\, \forall d(z,z_0)<\delta$. ($d$ ở đây là khoảng cách cầu trong $\overline{\mathbb{C}}$).
Tập Fatou $F(f)$ là tập mở lớn nhất của $\overline{\mathbb{C}}$ mà $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ liên tục đều tại mọi điểm. Tập Julia $J(f)$ là $\overline{\mathbb{C}}\setminus F(f)$.
Để cho dễ nhớ, ta hình dung rằng với mọi điểm $z_0$ gần $z$ trong tập Fatou, thì qua tác động của dãy $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$, chúng lúc nào cũng gần nhau. Còn hai điểm gần nhau cỡ nào trong tập Julia, dưới tác động của $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ cũng có thể có khoảng cách lớn hơn ban đầu.
Ví dụ : Với $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $f(z)=z^2$, tập Fatou $F(f)=\{z\, : \, |z|\neq 1\}$ do với mọi $|z|<1$, ta có thể khoanh một hình cầu đủ nhỏ để modulus của mọi số phức thuộc hình cầu đó <1, dưới tác động của dãy hàm $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$, các điểm sẽ tiến về 0 và khoảng cách giữa các điểm sẽ ngày càng nhỏ. Còn với $|z|>1$, tương tự ta có một lân cận mở mà mọi điểm trong đó có modulus >1, dưới tác động của dãy hàm, các điểm sẽ tiến dần ra $\infty$ và khoảng cách trên mặt cầu Riemann của chúng sẽ dần về 0.
Tập Julia $J(f)=\{z\, : \, |z|= 1\}$, vì với mỗi lân cận của $z\in J(f)$, tồn tại một số có modulus >1, một số có modulus <1, và hai số này dưới tác động của dãy hàm sẽ một số tiến ra $+\infty$, một số tiến về $0$, khoảng cách lớn hơn khoảng cách ban đầu.
Một vài tính chất và định lí :
(1) Tập Julia và Fatou ổn định dưới tác động của $f$ và $f^{-1}$
$$f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f),$$
$$f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f).$$
Hai tập hợp này được đặt tên theo hai nhà toán học người Pháp là Gaston Julia (1893-1978) và Pierre Fatou (1878-1929).
Định nghĩa : Cho $f : \overline{\mathbb{C}}\to \overline{\mathbb{C}}$ là hàm hữu tỉ phức, tức $f(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}$ với $p, q$ là các đa thức hệ số phức. Ta nói rằng dãy hàm $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ liên tục đều tại $z_0$ nếu với mọi $\epsilon >0$, tồn tại $\delta >0$ để $d(f^n(z),f^n(z_0))\leq \epsilon \,\, \forall d(z,z_0)<\delta$. ($d$ ở đây là khoảng cách cầu trong $\overline{\mathbb{C}}$).
Tập Fatou $F(f)$ là tập mở lớn nhất của $\overline{\mathbb{C}}$ mà $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ liên tục đều tại mọi điểm. Tập Julia $J(f)$ là $\overline{\mathbb{C}}\setminus F(f)$.
Để cho dễ nhớ, ta hình dung rằng với mọi điểm $z_0$ gần $z$ trong tập Fatou, thì qua tác động của dãy $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$, chúng lúc nào cũng gần nhau. Còn hai điểm gần nhau cỡ nào trong tập Julia, dưới tác động của $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ cũng có thể có khoảng cách lớn hơn ban đầu.
Ví dụ : Với $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, $f(z)=z^2$, tập Fatou $F(f)=\{z\, : \, |z|\neq 1\}$ do với mọi $|z|<1$, ta có thể khoanh một hình cầu đủ nhỏ để modulus của mọi số phức thuộc hình cầu đó <1, dưới tác động của dãy hàm $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$, các điểm sẽ tiến về 0 và khoảng cách giữa các điểm sẽ ngày càng nhỏ. Còn với $|z|>1$, tương tự ta có một lân cận mở mà mọi điểm trong đó có modulus >1, dưới tác động của dãy hàm, các điểm sẽ tiến dần ra $\infty$ và khoảng cách trên mặt cầu Riemann của chúng sẽ dần về 0.
Tập Julia $J(f)=\{z\, : \, |z|= 1\}$, vì với mỗi lân cận của $z\in J(f)$, tồn tại một số có modulus >1, một số có modulus <1, và hai số này dưới tác động của dãy hàm sẽ một số tiến ra $+\infty$, một số tiến về $0$, khoảng cách lớn hơn khoảng cách ban đầu.
Một vài tính chất và định lí :
(1) Tập Julia và Fatou ổn định dưới tác động của $f$ và $f^{-1}$
$$f^{-1}(F(f))=f(F(f))=F(f),$$
$$f^{-1}(J(f))=f(J(f))=J(f).$$
(2) Với hàm bậc hai : $f(z)=z^2+c$, kí hiệu $$A(\infty)= \{z \, : \, f^{n}(z)\to \infty\},$$ khi đó $A(\infty)$ mở, liên thông, không bị chặn, chứa trong $F(f)$, $J(f)$ trùng với biên của $A(\infty)$, đóng và bị chặn.
Đồ thị của tập Julia là rất đẹp với các hàm bậc 2, tham khảo :
https://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set
Nhận xét
Đăng nhận xét